三维计算几何基础

前置技能

以下内容需要二维计算几何基础、向量、向量积以及空间直角坐标系相关知识，请先熟悉 向量 和 二维计算几何基础 页面的相关内容。

元素的记录

点

在空间直角坐标系下，点用坐标表示，比如点 等。

我们可以记录其在 轴， 轴和 轴的坐标值，用结构体表示即可。

向量

三维向量的表示与二维向量一样，可以用坐标表示。

三维向量的模和点乘（数量积）可由二维推广得到，此处不再阐述。

三维向量的叉乘

两个向量 ， 叉积的结果是一个向量 。记作 。

我们可以简单的运用行列式表示：

其中 表示和坐标轴平行的单位向量，并写在对应坐标处。

展开得 。

极坐标

三维的极坐标可表示为两种：圆柱坐标和球面坐标。

圆柱坐标将极坐标扩展为三维的方式：从应用于平面工作中的二维系统开始，然后添加垂直于该平面的第三轴。

假如将第三轴称为 轴，为了找到由圆柱坐标 所描述的点，可以首先处理 和 ，然后根据 坐标“向上”或“向下”移动。

球面坐标可以以以下方法确定：

首先站在原点，面向水平极轴的方向。垂直轴的指向是从脚指向头部。右臂向上，指向垂直极轴方向；逆时针旋转角度 ；将手臂向下旋转角度 ，手臂指向极角 和 指定的方向；沿着该方向从原点移位距离 。到达球面坐标 所描述的点。

直线与射线

同样的，直线和射线可以用向量来表示。

我们考虑一下如何进行空间直线的存储。不难想到一般式、对称式（点向式）和参数方程，但是有点繁琐。

所以我们可以按照 二维计算几何基础 中提到的方法也用方向向量表示，即有一个方向向量 。于是我们就得到了表示法。

两直线夹角定义与关系充要条件

• 两直线的方向向量的夹角，叫做两直线的夹角。

有了这个命题，我们就可以得出以下结论：已知两条直线 ，它们的方向向量分别是 ，，设 为两直线夹角，我们可以得到 .

• .

平面

我们可以用平面上的一点 和该平面的法向量（即垂直于该平面的向量） 来表示一个平面。

因为 垂直于平面，所以 垂直于该平面内的所有直线。换句话说，设 ，则该平面上的点 都满足 。

根据向量点积的定义，上式等价于：

整理后得到：

令 ，则上式变成 。我们称这个式子为平面的 一般式。

三维向量与平面的夹角

当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角 （）称为直线与平面的夹角。 ——同济大学《高等数学（下）》

设直线向量 ，平面法线向量 ，那么以下命题成立：

• 角度的正弦值：

• 直线与平面平行

• 直线与平面垂直

立体几何定理

三正弦定理

（高中教材人教版《数学》必修第二册（下 A））

设二面角 －－ 的度数为 ，在平面 上有一条射线 ，它和棱 所成角为 ，和平面 所成的角为 ，则 。

三余弦定理

设 为平面上一点，过平面外一点 的直线 在面上的射影为 ， 为面上的一条直线，那么 ，， 三角的余弦关系为：（， 只能是锐角）

参考资料与注释

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