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概述

本文将简要介绍一些概率论的基础概念，并列举一些在算法竞赛中常用的结论，帮助你在短时间内建立起对概率论的直观理解。

为了简单起见，本文在讨论时默认样本空间为 有限集。如想了解更为一般的概率理论是如何建立起来的，请阅读概率论章节的其他文章。

事件

样本空间、随机事件

一个随机现象中可能发生的不能再细分的结果被称为 样本点。所有样本点的集合称为 样本空间，通常用来表示。

一个 随机事件 是样本空间的子集，它由若干样本点构成，用大写字母表示。

对于一个随机现象的结果和一个随机事件，我们称事件 发生了 当且仅当。

例如，掷一次骰子得到的点数是一个随机现象，其样本空间可以表示为。设随机事件为“获得的点数大于 ”，则。若某次掷骰子得到的点数，由于，故事件没有发生。

事件的运算

由于我们将随机事件定义为了样本空间的子集，故我们可以将集合的运算（如交、并、补等）移植到随机事件上。记号与集合运算保持一致。

特别的，事件的并也可记作，事件的交也可记作，此时也可分别称作 和事件 和 积事件。

概率

定义

古典定义

如果一个试验满足两条：

试验只有有限个基本结果；
试验的每个基本结果出现的可能性是一样的；

这样的试验便是古典试验。对于古典试验中的事件，它的概率定义为，其中表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目，表示事件包含的试验基本结果数。

统计定义

如果在一定条件下，进行了次试验，事件发生了次，如果随着逐渐增大，频率逐渐稳定在某一数值附近，那么数值称为事件在该条件下发生的概率，记做。

计算

广义加法公式: 对任意两个事件，
条件概率: 记表示在事件发生的前提下，事件发生的概率，则（其中为事件和事件同时发生的概率）。
乘法公式:
全概率公式：若事件构成一组完备的事件且都有正概率，即且，则有。
贝叶斯定理：

随机变量

直观地说，一个随机变量，是一个取值由随机事件决定的变量，“随机变量取值 ”（简记为）对应着一个能实现该命题的随机事件，进而有与之对应的概率。

独立性

直观地说，我们认为两个东西独立，当它们在某种意义上互不影响。例如，一个人出生的年月日和他的性别，这两件事是独立的；但一个人出生的年月日和他现在的头发总量，这两件事就不是独立的，因为一个人往往年纪越大头发越少。

数学中的独立性与这种直观理解大体相似，但不尽相同。

随机事件的独立性

我们称两个事件独立，当。

我们称若干个事件 互相独立，当对于其中任何一个子集，该子集中的事件同时发生的概率，等于其中每个事件发生概率的乘积。形式化地说：

由此可见，若干事件 两两独立 和 互相独立 是不同的概念。请注意这一点。

随机变量的独立性

以下用表示随机变量的取值范围。即，如果把看作一个映射，则就是其值域。

我们称两个随机变量独立，当，即取任意一组值的概率，等于和分别取对应值的概率乘积。

我们称若干个随机变量 互相独立，当取任意一组值的概率，等于每个分别取对应值的概率乘积。形式化地说：

由此可见，若干随机变量 两两独立 和 互相独立 是不同的概念。请注意这一点。

期望

定义

如果一个随机变量的取值个数有限（比如一个表示骰子示数的随机变量），或可能的取值可以一一列举出来（比如取值范围为全体正整数），则它称为 离散型随机变量。

形式化地说，一个随机变量被称为离散型随机变量，当它的值域大小有限或者为 可列无穷大。

一个离散型随机变量的 数学期望 是其每个取值乘以该取值对应概率的总和，记为。

其中表示随机变量的值域，表示所在概率空间的样本集合。

请读者自行验证连等式中的第二个等号。

性质

全期望公式：，其中是随机变量，是在成立的条件下的期望（即“条件期望”）。可由全概率公式证明。
期望的线性性: 对于任意两个随机变量（不要求相互独立），有。利用这个性质，可以将一个变量拆分成若干个互相独立的变量，分别求这些变量的期望值，最后相加得到所求变量的值。
乘积的期望: 当两个随机变量相互独立时，有。

例题

NOIP2017 初赛 T14, T15

NOIP2016 换教室（概率期望 DP）

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