快速复数论变换

上的 NTT 常用于替代 FFT 以提高效率，但是严重依赖模数： 是 型（如费马质数）时能快速计算，是 型（如梅森质数）时却难以进行；对此，Number theoretic transforms to implement fast digital convolution 中的快速复数论变换（complex NTT, CNTT）即 上的 DFT 能解决，但未被重视。

DFT 可逆的条件

交换环 上的 DFT 可逆的充要条件是：存在 次本原单位根 ，且 可逆。

模 高斯整数环

为便捷，以下用 表示 型质数， 表示 型质数。

是高斯整数 的素元而 不是，因此 是域而 不是，但 上仍可进行 CNTT。

常用模数的单位根

时 的 次单位根 ；

时 的 次单位根 ；

时 的 次单位根 。

务必注意 不一定成立。

性能和应用

洛谷 P3803 评测记录 显示，按照Optimization of number-theoretic transform in programming contests实现的 NTT 及与其同构的 CNTT, FFT 进行 长度的变换用时分别约为 毫秒。

因此，对于模 型质数的卷积问题，CNTT 明显优于三模数 NTT 和拆系数 FFT。

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