快速数论变换

简介

数论变换(Number-theoretic transform, NTT）是 快速傅里叶变换（FFT）在数论基础上的实现。

NTT 解决的是多项式乘法带模数的情况，可以说有些受模数的限制，数也比较大，

定义

数论变换

数论变换 是一种计算卷积（convolution）的快速算法。最常用算法就包括了前文提到的快速傅里叶变换。然而快速傅立叶变换具有一些实现上的缺点，举例来说，资料向量必须乘上复数系数的矩阵加以处理，而且每个复数系数的实部和虚部是一个正弦及余弦函数，因此大部分的系数都是浮点数，也就是说，必须做复数而且是浮点数的运算，因此计算量会比较大，而且浮点数运算产生的误差会比较大。

在数学中，NTT 是关于任意 环 上的离散傅立叶变换（DFT）。在有限域的情况下，通常称为数论变换 (NTT)。

离散傅里叶变换

离散傅里叶变换(Discrete Fourier transform，DFT) 是傅里叶变换在时域和频域上都呈离散的形式，将信号的时域采样变换为其 DTFT 的频域采样。

对于 点序列 ，它的离散傅里叶变换（DFT）为

其中 是自然对数的底数， 是虚数单位。通常以符号 表示这一变换，即

它的 逆离散傅里叶变换（IDFT）为：

可以记为：

实际上，DFT 和 IDFT 变换式中和式前面的归一化系数并不重要。在上面的定义中，DFT 和 IDFT 前的系数分别为 和 。有时我们会将这两个系数都改 。

矩阵公式

由于离散傅立叶变换是一个 线性 算子，所以它可以用矩阵乘法来描述。在矩阵表示法中，离散傅立叶变换表示如下：

生成子群

子群：群 ，满足 ，则 是 的子群

拉格朗日定理： 证明需要用到陪集，得到陪集大小等于子群大小，每个陪集要么不相交要么相等，所有陪集的并是集合 ，那么显然成立。

生成子群： 的生成子群 ， 是 的生成元

阶：群 中 的阶是满足 的最小的 ，符号 ，有 ，显然成立。

考虑群

阶就是满足 的最小的 ，

原根

满足 ，对于质数 ，也就是说 结果互不相同。

模 有原根的充要条件 :

离散对数：，

因为 是原根，所以 每 是一个周期，可以取到 的所有元素 对于 是质数时，就是得到 的所有数，就是 到 的映射 离散对数满足对数的相关性质，如

求原根可以证明满足 的最小的 一定是 的约数 对于质数 ，质因子分解 ，若 恒成立， 为 的原根。

NTT

数论变换(NTT）是通过将离散傅立叶变换化为 ，整数模质数 。这是一个 有限域，只要 可除 ，就存在本元 次方根，所以我们有 对于 正整数 。具体来说，对于质数 , 原根 满足 , 将 看做 的等价，则其满足相似的性质，比如

因为这里涉及到数论变化，所以 （为了区分 FFT 中的 ，我们把这里的 称为 ）可以比 FFT 中的 大，但是只要把 看做这里的 就行了，能够避免大小问题。

常见的有

就是 的等价

迭代到长度 时 ，或者

下面是一个大数相乘的模板，参考来源。

参考代码 
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#include <algorithm>
#include <bitset>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <map>
#include <queue>
#include <set>
#include <string>
#include <vector>
using namespace std;

inline int read() {
  int x = 0, f = 1;
  char ch = getchar();
  while (ch < '0' || ch > '9') {
    if (ch == '-') f = -1;
    ch = getchar();
  }
  while (ch <= '9' && ch >= '0') {
    x = 10 * x + ch - '0';
    ch = getchar();
  }
  return x * f;
}

void print(int x) {
  if (x < 0) putchar('-'), x = -x;
  if (x >= 10) print(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}

const int N = 300100, P = 998244353;

inline int qpow(int x, int y) {
  int res(1);
  while (y) {
    if (y & 1) res = 1ll * res * x % P;
    x = 1ll * x * x % P;
    y >>= 1;
  }
  return res;
}

int r[N];

void ntt(int *x, int lim, int opt) {
  register int i, j, k, m, gn, g, tmp;
  for (i = 0; i < lim; ++i)
    if (r[i] < i) swap(x[i], x[r[i]]);
  for (m = 2; m <= lim; m <<= 1) {
    k = m >> 1;
    gn = qpow(3, (P - 1) / m);
    for (i = 0; i < lim; i += m) {
      g = 1;
      for (j = 0; j < k; ++j, g = 1ll * g * gn % P) {
        tmp = 1ll * x[i + j + k] * g % P;
        x[i + j + k] = (x[i + j] - tmp + P) % P;
        x[i + j] = (x[i + j] + tmp) % P;
      }
    }
  }
  if (opt == -1) {
    reverse(x + 1, x + lim);
    register int inv = qpow(lim, P - 2);
    for (i = 0; i < lim; ++i) x[i] = 1ll * x[i] * inv % P;
  }
}

int A[N], B[N], C[N];

char a[N], b[N];

int main() {
  register int i, lim(1), n;
  scanf("%s", &a);
  n = strlen(a);
  for (i = 0; i < n; ++i) A[i] = a[n - i - 1] - '0';
  while (lim < (n << 1)) lim <<= 1;
  scanf("%s", &b);
  n = strlen(b);
  for (i = 0; i < n; ++i) B[i] = b[n - i - 1] - '0';
  while (lim < (n << 1)) lim <<= 1;
  for (i = 0; i < lim; ++i) r[i] = (i & 1) * (lim >> 1) + (r[i >> 1] >> 1);
  ntt(A, lim, 1);
  ntt(B, lim, 1);
  for (i = 0; i < lim; ++i) C[i] = 1ll * A[i] * B[i] % P;
  ntt(C, lim, -1);
  int len(0);
  for (i = 0; i < lim; ++i) {
    if (C[i] >= 10) len = i + 1, C[i + 1] += C[i] / 10, C[i] %= 10;
    if (C[i]) len = max(len, i);
  }
  while (C[len] >= 10) C[len + 1] += C[len] / 10, C[len] %= 10, len++;
  for (i = len; ~i; --i) putchar(C[i] + '0');
  puts("");
  return 0;
}

参考资料与拓展阅读

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