多项式三角函数

描述

给定多项式 ，求模 意义下的 与 。

解法

首先由 Euler's formula 可以得到 三角函数的另一个表达式：

那么代入 就有：

直接按上述表达式编写程序即可得到模 意义下的 与 。再由 可求得 。

代码

多项式三角函数

注意到我们是在 上做 NTT，那么相应地，虚数单位 应该被换成 或 ：。

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constexpr int maxn = 262144;
constexpr int mod = 998244353;
constexpr int imgunit = 86583718; /* sqrt(-1) = sqrt(998233452) */

using i64 = long long;
using poly_t = int[maxn];
using poly = int *const;

void polytri(const poly &h, const int n, poly &sin_t, poly &cos_t) {
  /* sin(f) = (exp(i * f) - exp(- i * f)) / 2i */
  /* cos(f) = (exp(i * f) + exp(- i * f)) / 2 */
  /* tan(f) = sin(f) / cos(f) */
  assert(h[0] == 0);
  static poly_t tri1_t, tri2_t;

  for (int i = 0; i != n; ++i) tri2_t[i] = (i64)h[i] * imgunit % mod;
  polyexp(tri2_t, n, tri1_t);
  polyinv(tri1_t, n, tri2_t);

  if (sin_t != nullptr) {
    const int invi = fpow(pls(imgunit, imgunit), mod - 2);
    for (int i = 0; i != n; ++i)
      sin_t[i] = (i64)(tri1_t[i] - tri2_t[i] + mod) * invi % mod;
  }
  if (cos_t != nullptr) {
    for (int i = 0; i != n; ++i) cos_t[i] = div2(pls(tri1_t[i], tri2_t[i]));
  }
}
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