基本概念

概述

在研究具体的随机现象时我们通常着重关注以下要素：

  • 样本空间 ，指明随机现象所有可能出现的结果。
  • 事件域 ，表示我们所关心的所有事件。
  • 概率 ，描述每一个事件发生的可能性大小。

在 快速上手概率论 中我们给出了样本空间与随机事件的定义，本文将在此基础上继续介绍事件域和概率。

事件域

研究具体的随机现象时我们需要明确哪些事件是我们感兴趣的。根据随机事件的定义，显然有 （记号 表示由 的所有子集组成的集合族），但 却不是必须的。这在样本空间 有限时可能有些难以理解，毕竟 尽管更大了但仍然有限。而当 为无穷集时， 的势变得更大，其中也难免会出现一些“性质不太好”且我们不关心的事件，这时为了兼顾这些事件而放弃一些性质就显得得不偿失了。

尽管 不是必须的，这并不代表 的任一子集都能成为事件域。我们通常会对一些事件进行运算得到的结果事件的概率感兴趣，因此我们希望事件域 满足下列条件：

  • ；
  • 若 ，则补事件 ；
  • 若有一列事件 ，则 。

简言之，就是事件域 对在补运算、和可数并下是封闭的，且包含元素 。

可以证明满足上述三个条件的事件域 对可数交也是封闭的。

以掷骰子为例，当样本空间记为 时，以下两个集合能够成为事件域：

但以下两个集合则不能

  • （对补不封闭）
  • （不含有 且对并不封闭）

概率

定义

概率函数 是一个从 到闭区间 的映射，且满足：

  • 规范性：事件 的概率值为 ，即 。
  • 可数可加性：若一列事件 两两不交，则 。

概率函数的性质

对于任意随机事件 ，有

  • 单调性：若 ，则有 。
  • 容斥原理：。
  • ，这里 表示差集。

概率空间

我们在一开始提到，研究具体的随机现象时我们通常关注样本空间 、事件域 以及概率函数 。我们将三元组 称为一个概率空间。

概率只有在确定的概率空间下讨论才有意义。著名的 Bertrand 悖论 就是由对样本空间 的定义不明确而产生的。

build本页面最近更新：2022/7/29 16:11:48，更新历史
edit发现错误？想一起完善？ 在 GitHub 上编辑此页！
people本页面贡献者：Enter-tainer, MegaOwIer
copyright本页面的全部内容在 CC BY-SA 4.0 和 SATA 协议之条款下提供，附加条款亦可能应用

评论