条件概率与独立性

当某事件已经发⽣时，一些随机事件的概率会因为已知信息的增加发⽣变化。因此研究在某些已知条件下事件发生的概率是必要的。

条件概率

定义

若已知事件 发生，在此条件下事件 发生的概率称为 条件概率，记作 。

在概率空间 中，若事件 满足 ，则条件概率 定义为

可以验证根据上式定义出的 是 上的概率函数。

根据条件概率的定义可以直接推出下面两个等式：

概率乘法公式

在概率空间 中，若 ，则对任意事件 都有

全概率公式

在概率空间 中，若一组事件 两两不交且和为 ，则对任意事件 都有

Bayes 公式

一般来说，设可能导致事件 发生的原因为 ，则在 和 已知时可以通过全概率公式计算事件 发生的概率。但在很多情况下，我们需要根据“事件 发生”这一结果反推其各个原因事件的发生概率。于是有

上式即 Bayes 公式。

事件的独立性

在研究条件概率的过程中，可能会出现 的情况。从直观上讲就是事件 是否发生并不会告诉我们关于事件 的任何信息，即事件 与事件 「无关」。于是我们就有了下面的定义

定义

若同一概率空间中的事件 , 满足

则称 , 独立。对于多个事件 ，我们称其独立，当且仅当对任意一组事件 都有

多个事件的独立性

对于多个事件，一般不能从两两独立推出这些事件独立。考虑以下反例：

有一个正四面体骰子，其中三面被分别涂成红色、绿色、蓝色，另一面则三色皆有。现在扔一次该骰子，令事件 ,, 分别表示与桌面接触的一面包含红色、绿色、蓝色。

不难计算 ，而 。

显然 两两独立，但由于 ，故 不独立。

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